Το μαθηματικό-επιστημονικό έργο του Αρχιμήδη από τις Συρακούσες

«Ο επόμενος στοχαστής στον οποίο πρέπει να αναφερθούμε, ο Αρχιμήδης ο Συρακούσιος, είναι ένας πολύ πιο πρωτότυπος μαθηματικός από τον Ευκλείδη και, πραγματικά, μια από τις μεγαλύτερες δημιουργικές ιδιοφυΐες που ανέδειξε η αρχαία ελληνική επιστήμη. Γνωρίζουμε ότι πέθανε όταν οι Συρακούσες καταλήφθηκαν και λεηλατήθηκαν από τα ρωμαϊκά στρατεύματα υπό τον Μάρκελλο το 212 π.Χ. και, αν δεχθούμε μια ομολογουμένως μεταγενέστερη μαρτυρία ότι τότε ήταν 75 ετών, γεννήθηκε το 287 π.Χ. Στον Ψαμμίτη συμπεριλαμβάνει τον πατέρα του Φειδία στους “προηγουμένους αστρονόμους” -μαζί με τον Εύδοξο και τον Αρίσταρχο- και οι πηγές μας αναφέρουν ότι ο Αρχιμήδης ήταν φίλος και συγγενής της βασιλικής οικογένειας των Συρακουσών. Αναφέρεται ότι είχε επισκεφθεί την Αλεξάνδρεια και είναι βέβαιο ότι γνώριζε και αλληλογραφούσε με τον Ερατοσθένη. Πάντως, φαίνεται ότι πέρασε το μεγαλύτερο μέρος του βίου του στη γενέτειρά του, τις Συρακούσες.

Το εύρος των ενδιαφερόντων του ήταν ευρύ και περιελάμβανε, πέρα από την αριθμητική και τη γεωμετρία, την οπτική, τη στατική και την υδροστατική, την αστρονομία και την εφαρμοσμένη μηχανική. Αρκετές από τις διηγήσεις που τον αφορούν τις δευτερεύουσες πηγές μας έχουν να κάνουν με την ικανότητά του ως μηχανικού. Αλλά πέρα από αμφίβολες αναφορές αραβικών πηγών σε ένα σύγγραμμα για τα υδραυλικά ρολόγια, η μοναδική πραγματεία τεχνολογικού περιεχομένου που συνέγραψε ήταν η Σφαιροποιία (δεν σώζεται), η οποία εξέταζε το πρόβλημα της κατασκευής μιας σφαίρας με την οποία μπορούσε κανείς να αναπαριστά τις κινήσεις της Γης, της Σελήνης και των πλανητών -ο ίδιος είχε, καθώς φαίνεται, κατασκευάσει ένα τέτοιο πλανητάριο που επιβίωσε ως την εποχή του Κικέρωνα, ο οποίος αναφέρεται επανειλημμένα σε αυτό με τρόπο που μαρτυρά τον θαυμασμό του για την ικανότητα του Αρχιμήδη. Δυστυχώς, όμως, δεν δίνει πολλές πληροφορίες σχετικά με τη φύση της σφαίρας ή τον τρόπο λειτουργίας της. Ένα σύγγραμμα οπτικής και αρκετά έργα αριθμητικής, γεωμετρίας και στατικής (π.χ. το Περί ζυγών) έχουν επίσης χαθεί. Παρ’ όλα αυτά, έχουν διασωθεί τουλάχιστον εννέα πλήρη ή σχεδόν πλήρη συγγράμματα, καθώς και αποσπάσματα, ή λατινικές και αραβικές μεταφράσεις αρκετών άλλων.

Ως παράδειγμα του έργου του στην αριθμητική, μπορούμε να θεωρήσουμε το σύγγραμμα Ψαμμίτης που πραγματεύεται ορισμένα προβλήματα σχετικά με τον χειρισμό πολύ μεγάλων αριθμών. (…) Η αρχαία ελληνική μαθηματική σημειογραφία έχει συχνά επικριθεί για την έλλειψη κομψότητάς της -εύλογα, ως έναν βαθμό-, παρ’ όλο που ούτε η απουσία συμβόλων για τον πολλαπλασιασμό, τη διαίρεση, την ισότητα, την αναλογία, κ.ο.κ., ούτε το αλφαβητικό σύστημα αρίθμησης (στο οποίο το α αντιστοιχεί στο 1, το β στο 2, το γ στο 3, το ι στο 10, το ια στο 11, το κ στο 20, το ρ στο 100 κ.ο.κ.) εμπόδιζε την εκτέλεση πολύπλοκων πράξεων όπως ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση με πολύ μεγάλους αριθμούς ή πολύπλοκα κλάσματα. Ωστόσο, διαπιστώνουμε ότι ο Αρχιμήδης επινόησε ένα σύστημα αρίθμησης το οποίο του παρείχε τη δυνατότητα να περιγράφει αριθμούς όπως τον αριθμό που θα συμβολίζαμε με τη μονάδα ακολουθούμενη από 80.000 εκατομμύρια εκατομμυρίων ψηφία -δηλαδή το 10⁸ x 10¹⁶– με εντυπωσιακή οικονομία, χρησιμοποιώντας επτά μόλις λέξεις: αι μυριάκις μυριοστής περιόδου μυριάκις μυριοστών αριθμών μυρίας μυριάδας, κατά λέξη μύριες μυριάδες της μυριάκις μυριοστής τάξης της μυριάκις μυριοστής περιόδου.

(…) Το κύριο ενδιαφέρον του Αρχιμήδη ήταν η γεωμετρία, στην οποία και αφιέρωσε την πλειονότητα των συγγραμμάτων του. (…) Ο Αρχιμήδης φροντίζει να διακρίνει τη δική του εργασία από το έργο προγενέστερων μαθηματικών και να αναγνωρίζει τις οφειλές του σε αυτούς. (…) Το ύφος της παρουσίασης στις γεωμετρικές πραγματείες παρουσιάζει ομοιότητες με τα Στοιχεία του Ευκλείδη. Ξεκινά, όπου χρειάζεται, παραθέτοντας ορισμούς και αιτήματα και στη συνέχεια προχωρά στην απόδειξη των θεωρημάτων του με μεθοδικότητα, παρ’ όλο που, σε αντίθεση με τον Ευκλείδη και σε μεγάλο βαθμό χάρις στο έργο του, ο Αρχιμήδης μπορεί να θεωρεί δεδομένη την απόδειξη πολλών βασικών θεωρημάτων. Οι αποδεικτικές μέθοδοί του ακολουθούν επίσης, και από ορισμένες απόψεις εξελίσσουν, εκείνες του Ευκλείδη. (…) Μια πιο εντυπωσιακά πρωτότυπη πτυχή της μεθοδολογίας του Αρχιμήδη είναι η εφαρμογή μηχανικών εννοιών στα γεωμετρικά προβλήματα. Έτσι, επιχειρήματα που βασίζονται σε αρχές προερχόμενες από τη στατική εφαρμόζονται στα προβλήματα υπολογισμού άγνωστων εμβαδών ή όγκων.

(…) Συνήθως από τα αρχαία ελληνικά μαθηματικά κείμενα απουσιάζει κάθε αναφορά στη διαδικασία ανακάλυψης. Γενικά, όλοι οι Έλληνες μαθηματικοί ενδιαφέρονταν να δημοσιεύσουν -δηλαδή να κοινοποιήσουν στους συναδέλφους τους- μόνον το τελικό προϊόν της έρευνάς τους, με τη μορφή μιας δέσμης θεωρημάτων με αυστηρή απόδειξη που οργανώνονταν σε ένα παραγωγικό σύστημα. Αυτό που έχουμε στα χέρια μας είναι η λεγόμενη σύνθεσις και δεν διασώζεται κανένα ίχνος της προηγηθείσης αναλύσεως ή οποιασδήποτε άλλης διαδικασίας ανακάλυψης. Η περιγραφή από τον Αρχιμήδη της μηχανικής μεθόδου του αποτελεί εξαίρεση στον γενικό κανόνα, αλλά είναι σαφές ότι συμμερίζεται την κοινή αντίληψη πως η ανακάλυψη του θεωρήματος είναι ήσσονος σημασίας σε σχέση με την απόδειξή του.

Η χρήση μηχανικών εννοιών αποτελεί χαρακτηριστικό γνώρισμα της αρχιμήδειας γεωμετρίας. Αντιστρόφως, ο Αρχιμήδης χειρίζεται ορισμένα προβλήματα της μηχανικής με γεωμετρικό τρόπο. Τα καλύτερα παραδείγματα αυτής της μεθόδου προέρχονται από τη στατική και την υδροστατική, δύο ακόμη τομείς στους οποίους το έργο του διακρίνεται από εξαιρετική πρωτοτυπία. (…) ο Αρχιμήδης ήταν ο πρώτος που απέδειξε και συστηματοποίησε τα βασικά θεωρήματα της στατικής στο βιβλίο του Περί επιπέδων ισορροπιών, ενώ στον τομέα της υδροστατικής δεν υπήρχε, εξ όσων τουλάχιστον γνωρίζουμε, προγενέστερο υλικό.

(…) Η πρωτοτυπία του έργου του Αρχιμήδη έγκειται στην αυστηρή παραγωγική απόδειξη των βασικών θεωρημάτων της στατικής. (…) Σε πλήρη αντίθεση με τις επανειλημμένες αναφορές σε εμπειρικά δεδομένα των Μηχανικών*, το έργο του Αρχιμήδη εγκύπτει στα στατικά προβλήματα διατυπώνοντάς τα με ιδεατούς, μαθηματικούς όρους. Η τριβή, το βάρος του ζυγού, ουσιαστικά κάθε εξωτερικός φυσικός παράγοντας, αποκλείονται. Η αντιμετώπιση είναι εξ ολοκλήρου γεωμετρική. Το σύνολο είναι μια άσκηση στην παραγωγική απόδειξη, κατά το πρότυπο των Στοιχείων του Ευκλείδη, και λειτουργεί με τη σειρά του ως πρότυπο εφαρμογής των μαθηματικών σε προβλήματα φυσικής»

*ένα σύγγραμμα του αριστοτελικού corpus που όμως δεν αποδίδεται στον ίδιο τον Αριστοτέλη

(Πηγή: ‘Η Ελληνική επιστήμη μετά τον Αριστοτέλη’, του G.E.R. Lloyd, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Σελ. 59-60)

Έρευνα-Αποδελτίωση: Αναστάσιος Φιλόπονος